CHINA CHUI-CHANG SUAN-SHU

Obra principal : "Nove Capítulos sobre a arte Matemática" -

raízes quadradas, 246 problemas sobre mensuração de terras, agricultura, sociedades, engenharia, impostos, cálculos, solução de equações e propriedades de triângulos retângulos. Operações sobre frações, mínimo divisor comum.

Quadrados Mágicos :

"Os chineses gostavam especialmente de diagramas; não é surpreendente que o primeiro registro(de origem antiga mas desconhecida) de um quadrado mágico tenha aparecido lá.

4   9   2   3   5   7   8   1   6

O quadrado foi supostamente trazido para os homens por uma tartaruga do rio Lo nos dias do lendário Imperador Yii,considerado um engenheiro hidráulico. A preocupação com tais diagramas levou o autor dos Nove Capítulos a resolver o sistema de equações lineares simultâneas. 3x+2y+z = 39 2x+3y+z = 34 x+2y+3z=26 efetuando operações sobre colunas de uma matriz

 

1   2   3   3   3   2   3   1   1   26   34   39

para reduzi-la a

0   0   0   0   5   2   36   9   1   99   24   39

 

A segunda forma representava as equações:

36z = 99 , 5y+z = 24 e 3x+2y+z = 39, das quais facilmente são calculados sucessivamente os valores de z, y e x." ( In " História da Matemática", de Carl B. Boyer, Ed.Edgard Blücher Ltda. ,Trad. Elza F. Gomide, 2ª. ed.)

 

Leia Mais em : Ang Tian-se, "Chinese Interest in Right-Angled Triangles

Libbreht,U., "Chinese Mathematics in the Thirteenth Century

Mikami, Y., "The Development of Mathematics in China and Japan

Needham , J., "Science and Civilization in China

---

---

ÍNDIA -

“Escavações arqueológicas em Mohenjo Daro fornecem provas de uma civilização antiga e de alta cultura na Índia durante a era das construções das pirâmides egípcias, mas não temos documentos matemáticos indianos dessa época........” A queda do Império Romano do Ocidente tradicionalmente é situada no ano 476; foi nesse ano que nasceu ARYABHATA, autor de um dos mais antigos textos matemáticos indianos.É claro,entretanto, que antes disto –provavelmente antes mesmo da mítica fundação de Roma em 753 a.C. A Índia, como o Egito, tinha seus “atiradores de cordas”, e as primitivas noções geométricas adquiridas em conexão com o traçado de templos e medida e construção de altares tomaram a forma de um corpo de conhecimentos conhecido como os SULVASUTRAS, ou “Regras de Cordas”.(Corda ou sulba - corda usada para medidas , e sutra significa um livro de regras ou aforismos relativos a um ritual ou ciência”. In História da Matemática, de Carl B. Boyer,trad. de Elza F. Gomide, Ed. Edgard Blücher Ltda., Brasil. Trata-se de um compêndio de livros,todo em versos.O mais importante, Apastamba, contém regras para construção de ângulos retos por meio de ternas de cordas cujos comprimentos formam as chamadas “tríades pitagóricas”. Depois vieram os Siddhantas, com várias versões épicas , que teriam sido ditadas pelo deus do Sol, de nome Surya e se referem a regras astronômicas(gregas misturadas com o misticismo hindu).De sua leitura pode-se inferir o nascimento,na Índia, da precursora da função trigonométrica moderna chamada seno. ARYABHATA - no sexto século escreveu o compêndio ARYABHATYA, correspondente a “Os Elementos”, de Euclides -matemática pura, alto grau de abstração e medida do tempo e trigonometria esférica. “NUMERAIS HINDUS. O desenvolvimento de notações numéricas na Índia parece ter seguido a mesma linha que se encontra na Grécia. As inscrições mais antigas em Mohenjo Daro mostram a princípio simples traços verticais, dispostos em grupos, mas pela época de Asoka(terceiro século a.C) estava em uso um sistema semelhante ao herodiânico”.Idem,fls.145. SÍMBOLO PARA ZERO: só aparece na Índia em 876.Não se sabe ao certo sua origem –talvez seja de Alexandria.

 

TRIGONOMETRIA : “O desenvolvimento de nosso sistema de notação para os inteiros foi uma das duas contribuições da Índia de maior influência na história da matemática. A outra foi a inTrodução de um equivalente da função seno na trigonometria para substituir a tabela grega de cordas. E o valor de raiz quadrada de 10 para o número “pi” - foi tão freqüente na Índia que às vezes é chamado de valor hindu” A trigonometria hindu foi muito importante como instrumento útil e preciso para a astronomia. Multiplicação: “A adição e a multiplicação eram efetuadas na Índia de modo muito semelhantge ao que usamos hoje, só que paecem a princípio ter preferido escrever os números com as unidades menores à esquerda, portanto trabalhar da esquerda para a direita, usando pequenas lousas com tinta removível branca... multiplicação em reticulado, multiplicação em gelosia, em célula, em grade ou quadrilateral...”Idem, pág. 148. Divisão : Ali foi inventado o “Método do Galeão” ou “Método de Riscar” – a propósito há uma ilustração do século XVI – um manuscrito de um monge veneziano “Opus Arithmetica D.Honorati veneti monchi coenobiy s.Lauretig. In Biblioteca de Pimpton.

 

BRAHMAGUPTA –Grande matemático do século VII, na Índia Central , deu grande contribuição à álgebra, com soluções gerais para equações quadráticas. Há, ainda, as equações indeterminadas e quadriláteros. Ele utilizou formas abreviadas para adição,subtração,e, na divisão, o divisor sob o dividendo – como escrevemos frações, mas sem as barras. Sua notação é semelhante à de Diofante.

 

BHASKARA - (viveu entre 114 a 1185) foi o maior matemático hindu do século XII e complementou a obra de Brahmagupta, tendo a sua obra compendiada em parte no livro “Vija-Ganita” – é aí que pela primeira vez se encontra a afirmação de que o quociente da divisão de um número por zero é igual a infinito. Nem mesmo os gregos haviam chegado a essa conclusão, na época de Aristóteles, porque o zero não era incluído na matemática grega. Ouro compêndio de sua autoria é o Lilavati . Em ambos se pode ver a reunião da matemática pura com o misticismo hindu . Exemplo:

“Dividendo 3. Divisor 0. Quociente a fração 3/0. Essa fração cujo denominador é cifra,chama-se uma quantidade infinita. Nessa quantidade, que consiste no que tem cifra como divisor, não há alteração mesmo que muito seja acrescentado ou retirado; como nenhuma alteração se dá no Deus infinito e imutável.” (In mesma obra,pág.152) . Outro exemplo, agora do pitoresco a serviço da ciência : “ O problema do ‘bambu quebrado’ , popular na China(e considerado também por Brahmagupta), aparece na forma seguinte : se um bambu de 32 cúbitos de altura é quebrado pelo vento de modo que a ponta encontra o chão a 16 cúbitos da base, a que altura, a partir do chão ele foi quebrado?” (In mesma obra, pág.152).

 

RAMANUJAN , Srinivasa ( viveu entre 1887 e 1920) e foi o gênio hindu do século vinte.Também tinha essa incrível habilidade de manipular a aritmética e a álgebra, até mesmo retirando de conversa corriqueira em seu leito de hospital espetacular fórmula de números contrários.Grandes contribuições hindus: função seno em trigonometria e nosso atual sistema de numeração de inteiros chamado indo-arábico.

---

GRÉCIA (Algumas Curiosidades)

Os gregos , no início, eram bárbaros e iletrados. A partir da invasão que praticaram até as margens do mar Mediterrâneo, aproximadamente aos 2000 a.C. é que foram se ilustrando, com o contato com as novas culturas encontradas pelo caminho. E demonstraram a sua genialidade latente por um desejo extraordinário de aprender. Não só aprenderam, como também melhoraram o que aprenderam e criaram novas coisas, em todas as áreas do conhecimento humano - os grandes filósofos, que eram, também, excelentes matemáticos, e se tornaram uma cultura hegemônica, que deixou suas raízes fincadas em nossa Civilização Ocidental. Tales de Mileto, Pitágoras de Samos, Anaxágonas de Clazomene,são figuras imponentes do ínício da matemática como a conhecemos hoje. Diz-se , até mesmo, que foi Pitágoras de Samos que criou estas duas palavras : filosofia , como “amor à sabedoria” e matemática ,como “o que é aprendido”.Quadratura do círculo : Hipócrates criou fórmula para quadratura de lunas (figuras formadas por uma corda e um arco de um círculo que o corta em dois pontos), mas a tradição indica Hípias de Elis como sendo quem realmente primeiro possibilitou a fórmula para a quadratura do círculo , através da curva chamada trissectriz criada por ele e que ficou conhecida como“quadratriz de Hípias” – possibilitou a Dinóstrato, com muita sofisticação de cálculo, chegar a quadrar, realmente , o círculo. Mas continuou a procura de fórmulas mais simples para esse fim, descobrindo-se muitas e muitas outras curvas, ainda na Antiguidade. Outras Criações gregas : pentagrama pitagórico, misticismo sobre números, aritmética e cosmologia, números figurativos, proporções, proporções contínuas, duplicação do cubo, incomensurabilidade, secção áurea, paradoxos de Zeno, sólidos platônicos, a origem da análise, o método de exaustão, astronomia matemática, álgebra geométrica, medida do círculo, trissecção do ângulo, área de um segmento parabólioo, volume de uma esfera, trigonometria, o círculo de 360 graus, astronomia ptolomaica, óptica e astrologia, matemática aplicada, teoremas de Papus, teoremas de Papus-Guldin, etc..O Círculo de 360 graus: não se sabe bem sua origem. Mas convenciona-se que vem dos gregos desde Hiparco de Nicéia, astrônomo, acerca de 180 a.C. Pode se referir aos doze signos do zodíaco, ou aos dias das quatro estações do ano : num total de 360.

---

MATEMÁTICA ÁRABE - A CASA DA SABEDORIA
Foi a era maometana que proporcionou o grande desenvolvimento da matemática árabe.
No século sétimo da era cristã, enquanto Brahmaguta fazia seus escritos de elevada matemática a península arábica passava por uma crise sem precedentes, porque o Império Sabeano havia caído e era habitada por nômades do deserto, os beduínos, que eram, também , guerreiros. Foi então que nasceu e cresceu ali, na mesma condição, o seu grande reformador : Maomé, que, mercador, andou durante muitos anos em longas viagens, estabelecendo contatos com judeus e cristãos. E, a certo momento, por inspiração mística, tornou-se o grande líder de seu povo, unindo-o sob o Corão e conduzindo-o para um futuro glorioso durante muitos séculos, com muitas conquistas territoriais e adquirindo, em contato com as culturas submetidas, ilustração e sofisticação, especialmente na matemática, assim como já ocorrera com os gregos, dois mil anos antes de Cristo, e com os romanos, um milênio depois. E o seu ponto forte foram as artes e a matemática.
No início, enquanto Maomé vivia , judeus e cristãos eram protegidos por ele e seus seguidores e encontravam guarida e proteção em suas terras. A religião assim instituída por ele tinha por princípio a fraternidade entre os monoteístas , o que somente começou a deteriorar-se depois de sua morte, quando seus seguidores, ainda guerreiros, dedicaram-se à expansão do Império Islâmico e interesses materiais produziram diferenças e discórdias, como acontece em todas as sociedades humanas.E foi por volta de 750 que tudo se abrandou e o Império Árabe se dividiu em dois (os ocidentais, em Marrocos e os orientais, que se estabeleceram em Bagdad).Assim é que em Bagdad o califa al-Mansur surgiu um grande e novo Centro da Matemática e deu-se o Milagre Árabe, repetição histórica do Milagre Grego e do Milagre Romano.

Final do século VIII - Foi traduzido para o árabe o livro Sidhanta,dos hindus e o Tetrabiblos astrológico de Ptolomeu e, então, está fincada a pedra filosofal da hegemonia matemática árabe.
Foram três os grandes mecenas da cultura islâmica que nascia- os califas al-Mansur, Harum al-Rachid (nosso conhecido do célebre “Mil e Uma Noites”, com a princesa Scheherazade) e al-Mamum.
Al-Mansur foi o grande unificador. Sob ele se desenvolveu a alquimia e a astrologia. Harum al-Rachid - sob seu reinado se traduziu grande parte dos escritos da matemática de Euclides para a língua árabe, na verdade franca entre os intelectuais especialmente. Al-Mamum decidiu e determinou a tradução para o árabe de todos os escritos gregos que fossem encontrados e assim o foram o Almagesto de Ptolomeu e uma versão integral de Os Elementos de Euclides. Foi ele quem erigiu em Bagdad a “Casa da Sabedoria” (“Bat al-hikma”), somente comparável, no mundo antigo, ao Museu de Alexandria. Os manuscritos gregos foram obtidos através de tratados com o Império Bizantino.
Casa da Sabedoria - Grandes vultos :Mohammed ibu-Musa al-Khowarizmi – ficou tão conhecido na Europa Ocidental quanto Euclides, graças a seus feitos no campo da astronomia, baseado inicialmente em ensinamentos vindos da Índia, através dos Sindhind. Morreu por volta de 850 e são seus maiores feitos : mais de meia dúzia de obras de astronomia e matemática.Tabelas astronômicas, tratados sobre o astrolábio e o relógio de sol, livros de aritmética e álgebra. Fez uma exposição (que em nossos dias se chamaria propaganda) tão elaborada e sofisticada dos numerais hindus que hoje nós ocidentais usamos, que até os nossos dias há a impressão de que eles foram criação árabe, e por isso são chamados arábicos, embora ele afirmasse sempre a origem hindu.Morreu em 850.

Al-Khowarizimi é considerado o “Pai da Álgebra”. Do seu nome nos veio o nome da nova notação dos números - alkhowarizimi? algorismi ? algorismo ou algoritmo?algarismo - é sua grande marca na aritmética; Do nome de sua principal obra veio o nome da matéria que hoje estudamos : Al-jabr Wa’l muqabalah ? almucabola ?mucabala. “ A palavra al-jabr presumivelmente significa algo como “restauração”ou “completação” e parece referir-se à transposição de t ermos subtraídos para o outro lado da equação, a palavra muqabalah, ao que se diz, refere-se a “redução” ou “equilíbrio” – isto é, ao cancelamento de termos semelhantes em lados opostos da equação. A influência árabe na Espanha muito depois do tempo de al-Khowarizmi pode ser vista no Dom Quixote, onde a palavra algebrista é usada para indicar um “restaurador” de ossos.” (In História da Matemática, idem, fls. 156). Grande Computador da Humanidade :Foram tantas as influências na cultura árabe, pois tiveram a oportunidade de ler e estudar os antigos tratados da Mesopotâmia, da Índia, da Grécia, de Roma e outras culturas que os precederam e contemporâneos, que é difícil de dizer a qual linha dentre essas ela se filiou. Mas pode-se dizer que, do conjunto de todas surgiu algo novo, com características místicas e pragmáticas, com o abandono de determinadas tendências hinduístas que não se desenvolveram e pereceram, como a análise indeterminada. Assim, a partir do século nono, foi realmente a matemática árabe que passou a influir em todo o mundo conhecido : eles foram como que um gigantesco computador da humanidade que recolheu dela todos os dados importantes e, fazendo uma “mixagem” , apresentaram novas descobertas, que deram origem à moderna matemática, que levou o homem ao espaço sideral. E aí se incluem as artes, a música – com a introdução das escalas maiores e menores ainda não conhecidas no ocidente e que permitiram uma infinita combinação de ritmos e sons riquíssimos a uma música ocidental que se resumia mais nos “cantochões” religiosos que não possuíam muitas variedades melódicas ( são aquelas que usam bemóis e sustenidos), a astronomia, a navegação, a matemática.

Outros grandes vultos da Casa da Sabedoria :

‘Abd-al-Hamid ibn-Turk – século nove – equação quadrática, discriminante negativo, prova da equação sem solução, figuras geométricas. Sua principal obra é chamada “Necessidades Lógicas em Equações Mistas”, semelhante ao Al-jabr, mas com maiores esclarecimentos – usa figuras geométricas para provar que, quando o discriminante é negativo, uma equação quadrática não tem solução.Thabit ibn-Qurra – século nove - equivalente árabe de Papus de Alexandria, ambos comentadores da matemática superior. Fez provas de alternativas do teorema de Pitágoras, trabalhou em segmentos parabólicos, quadrados mágicos, trissecções de ângulos e novas teorias astronômicas, propondo a chamada “trepidação dos equinócios”.Abu’l Wefa – século dez - sistematização da trigonometria , que se chama trigonometria árabe, introduzindo a noção de fórmulas para provar teoremas, tais como para ângulo duplo ou metade, lei para triângulos esféricos, nova tabela para ângulos diferentes, diferindo (1/4)º, usando o equivalente a oito casas decimais.Al-Karkhi – século onze – primeiras soluções numéricas das equações de forma ax²n + bxn = c . Bases para a matemática da Renascença.Al-Biruni e Alhazen – século doze o primeiro e dez, o segundo - o primeiro, vários trabalhos, inclusive de física, com discussão sobre se a Terra gira em torno do seu eixo,mas não deu a resposta, problema de gnonon, ou do cálculo das sombras hindu, estudos sobre gravidade específica e poços artesianos, solução aproximada em fraçõpes sexagesimais , fórmula trigonométrica para cós 3? , facilitou a solução da equação x³ = 1 + 3x ; o segundo superou o primeiro e é conhecido por esse nome no Ocidente, mas o seu nome é realmente Ibn-al-Haitham e viveu entre 965 e 1039 – escreveu o tratado “Tesouro da Óptica”, inspirado em Ptolomeu sobre a refração e reflexão e influenciou cientistas da Europa na Renascença - estrutura do olho, aumento aparente do tamanho da Lua quando próxima do horizonte, avaliação da altura da atmosfera, o célebre “problema de Alhazen sobre ponto de reflexo em espelho esférico, área limitada por arco parabólico. IbnYunus– final do século XI - uma das fórmulas para “produto da soma” muito utilizado na Renascença.

 

OMAR KHAYYAM - viveu no século XII – é mais conhecido no Ocidente como o maior poeta persas (as suas célebres Rhubayatas) , mas foi um gênio polivalente e teve na matemática uma de suas maiores formas de expressão. Conhecido como “fabricante de tendas”, também, escreveu um tratado de Álgebra, superior ao de al-Khowarizmi e dava soluções aritméticas e algébricas para equações do segundo grau; outros trabalhos : equações do 3º grau em soluções algébricas, secções cônicas, avanço na direção da matemática de Descartes, que viria quase quinhentos anos depois, chegou perto de definir os números irracionais.Uma obra citada por ele em sua Álgebra foi perdida e nela ele expunha um método para encontrar as potências quarta, quinta ,sexta e mais altas de um binômio – seria um arranjo ao triângulo de Pascal – os chineses e hindus, na mesma época, também fizeram a mesma coisa e as evidências que se tem hoje da pouca possibilidade de comunicação entre aqueles povos exclui a possibilidade de uma cópia ou de troca de idéias entre eles. Elaborou um teorema sobre o Postulado das Paralelas , o quinto de Euclides, que sempre foi um desafio até mesmo para gregos e até mesmo no século dezoito na Europa – “Omar Khayyam partiu então de um quadrilátero com dois lados iguais, ambos perpendiculares à base (usualmente chamado”quadrilátero de Saccheri”, novamente em reconhecimento de esforços no século dezoito ) e perguntou como seriam os outros ângulos (os superiores) do quadrilátero, que são necessariamente iguais um ao outro. Há é claro , três possibilidades. Os ângulos podem ser 1) agudos, 2) retos, ou 3) obtusos. Omar Khayyam excluiu a primeira e a terceira possibilidade, baseando-se em um princípio, que atribuiu a Aristóteles, que diz que duas retas convergentes devem cortar-se – novamente um enunciado equivalente ao postulado das paralelas de Euclides.” (Idem, fls 166). Nasir Eddin –século XII e Al-Kashi, no século XV.

Fonte : História da Matemática – DE Carl B. Boyer 2ª. Ed. Trad. Elza F. Gomide
Editora Edgard Blücher Ltda.
Resumo Lia Pantoja Milhomens